Question

【題目】如圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，，，.

（1）求平面與平面所成銳二面角的余弦值；

（2）點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與所成的角最小時(shí)，求線段的長.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）以為原點(diǎn)，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量可解得結(jié)果；

（2）向量與夾角的余弦值的絕對(duì)值的最大值等價(jià)于直線與所成的角最小，利用向量法可解得結(jié)果.

（1）因?yàn)?/span>平面，所以，，又，

所以以為原點(diǎn)，以分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：

所以，，，，，

因?yàn)?/span>，，，所以平面，

所以是平面的一個(gè)法向量，．

因?yàn)?/span>．

設(shè)平面的法向量為，則，

即，令，解得．

所以是平面的一個(gè)法向量，從而，

所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．

（2） 因?yàn)?/span>，設(shè)，

又，則，

又，

從而，

設(shè)，

則，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的最大值為．

因?yàn)?/span>在上是減函數(shù)，所以此時(shí)直線與所成角取得最小值．

所以.