Question

【題目】如圖：三棱錐P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，若底面ABC是邊長為2的正三角形，且PB與底面ABC所成的角為 ．若M是BC的中點(diǎn)，求：

（1）三棱錐P﹣ABC的體積；
（2）異面直線PM與AC所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)镻A⊥底面ABC，PB與底面ABC所成的角為

所以

因?yàn)锳B=2，所以

（2）解：連接PM，取AB的中點(diǎn)，記為N，連接MN，則MN∥AC

所以∠PMN為異面直線PM與AC所成的角

計(jì)算可得： ，MN=1，

異面直線PM與AC所成的角為

【解析】（1）欲求三棱錐P﹣ABC的體積，只需求出底面積和高即可，因?yàn)榈酌鍭BC是邊長為2的正三角形，所以底面積可用 來計(jì)算，其中a是正三角形的邊長，又因?yàn)镻A⊥底面ABC，所以三棱錐的高就是PA長，再代入三棱錐的體積公式即可．（2）欲求異面直線所成角，只需平移兩條異面直線中的一條，是它們成為相交直線即可，由M為BC中點(diǎn)，可借助三角形的中位線平行于第三邊的性質(zhì)，做出△ABC的中位線，就可平移BC，把異面直線所成角轉(zhuǎn)化為平面角，再放入△PMN中，求出角即可．