Question

【題目】如圖，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O為底面中心，A1O⊥平面ABCD， ．
（1）證明：A1C⊥平面BB1D1D；

（2）求平面OCB1與平面BB1D1D的夾角θ的大小．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵A1O⊥面ABCD，且BD面ABCD，∴A1O⊥BD；

又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，A1O∩AC=O，

∴BD⊥面A1AC，且A1C面A1AC，故A1C⊥BD．

在正方形ABCD中，∵ ，∴AO=1，

在Rt△A1OA中，∵ ，∴A1O=1．

設(shè)B1D1的中點為E1，則四邊形A1OCE1為正方形，∴A1C⊥E1O．

又BD面BB1D1D，且E10面BB1D1D，且BD∩E1O=O，

∴A1C⊥面BB1D1D；

（2）解：以O(shè)為原點，分別以O(shè)B，OC，OA1所在直線為x，y，Z軸建立如圖所示空間直角坐標系，

則B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，1），B1（1，1，1），

．

由（1）知，平面BB1D1D的一個法向量 ，

， ．

設(shè)平面OCB1的法向量為 ，

由 ，得 ，取z=﹣1，得x=1．

∴ ．

則 = ．

所以，平面OCB1與平面BB1D1D的夾角θ為 ．

【解析】（1）要證明A1C⊥平面BB1D1D，只要證明A1C垂直于平面BB1D1D內(nèi)的兩條相交直線即可，由已知可證出A1C⊥BD，取B1D1的中點為E1 ， 通過證明四邊形A1OCE1為正方形可證A1C⊥E1O．由線面垂直的判定定理問題得證．（2）以O(shè)為原點，分別以O(shè)B，OC，OA1所在直線為x，y，Z軸建立空間直角坐標系，然后求出平面OCB1與平面BB1D1D的法向量，利用法向量所成的角求平面OCB1與平面BB1D1D的夾角θ的大小．
【考點精析】利用直線與平面垂直的判定對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．