Question

【題目】已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，極軸與x軸的非負半軸重合．曲線 （t為參數），曲線C2的極坐標方程為ρ=ρcos2θ+8cosθ． （Ⅰ）將曲線C1 ， C2分別化為普通方程、直角坐標方程，并說明表示什么曲線；
（Ⅱ）設F（1，0），曲線C1與曲線C2相交于不同的兩點A，B，求|AF|+|BF|的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）曲線 （t為參數），

將曲線C1的參數方程消去參數t，

化為普通方程得y=﹣x+1，表示一條直線．

曲線C2的極坐標方程為ρ=ρcos2θ+8cosθ．

由cos2θ=1﹣2sin2θ，得曲線C2的方程可變形為ρ2sin2θ=4ρcosθ，

化為直角坐標方程可得y2=4x，曲線C2表示頂點在原點，焦點為（1，0）的拋物線

（Ⅱ）由 ，消去y，可得x2﹣6x+1=0

設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=6，

由題意知F（1，0）為曲線C2的焦點

所以|AF|+|BF|=（x1+1）+（x2+1）=x1+x2+2=8

【解析】（Ⅰ）曲線C1的參數方程消去參數t，化為普通方程得y=﹣x+1，表示一條直線；由cos2θ=1﹣2sin2θ，得曲線C2的方程可變形為ρ2sin2θ=4ρcosθ，化為直角坐標方程可得y2=4x，曲線C2表示頂點在原點，焦點為（1，0）的拋物線．（Ⅱ）由 ，得x2﹣6x+1=0，由題意知F（1，0）為曲線C2的焦點，由此能求出|AF|+|BF|的值．