Question

【題目】閱讀與探究

人教A版《普通高中課程標準實驗教科書 數(shù)學4（必修）》在第一章的小結(jié)中寫到：

將角放在直角坐標系中討論不但使角的表示有了統(tǒng)一的方法，而且使我們能夠借助直角坐標系中的單位圓，建立角的變化與單位圓上點的變化之間的對應(yīng)關(guān)系，從而用單位圓上點的縱坐標、橫坐標來表示圓心角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù).因此，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)與圓的幾何性質(zhì)（主要是對稱性）之間存在著非常緊密的聯(lián)系.例如，和單位圓相關(guān)的“勾股定理”與同角三角函數(shù)的基本關(guān)系有內(nèi)在的一致性；單位圓周長為與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期為是一致的；圓的各種對稱性與三角函數(shù)的奇偶性、誘導(dǎo)公式等也是一致的等等.因此，三角函數(shù)的研究過程能夠很好地體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想.

依據(jù)上述材料，利用正切線可以討論研究得出正切函數(shù)的性質(zhì).

比如：由圖1.2-7可知，角的終邊落在四個象限時均存在正切線；角的終邊落在軸上時，其正切線縮為一個點，值為；角的終邊落在軸上時，其正切線不存在；所以正切函數(shù)的定義域是.

（1）請利用單位圓中的正切線研究得出正切函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性；

（2）根據(jù)閱讀材料中途1.2-7，若角為銳角，求證： .

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】試題分析：（1）在單位圓中畫出角的正切線，觀察隨增大正切線的值得變化情況，再觀察時，正切線的值隨增大時的變化情況，發(fā)現(xiàn)正切函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.（2）當是銳角時，有，由此得到.

解析：（1）當時， 增大時正切線的值越來越大；當時，正切線與區(qū)間上的情況完全一樣；隨著角的終邊不停旋轉(zhuǎn)，正切線不停重復(fù)出現(xiàn)，故可得出正切函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；由題意知正切函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，在坐標系中畫出角 和，它們的終邊關(guān)于軸對稱，在單位圓中作出它們的正切線，可以發(fā)現(xiàn)它們的正切線長度相等，方向相反，即，得出正切函數(shù)為奇函數(shù).

（2）如圖，當為銳角時，在單位圓中作出它的正弦線，正切線，又因為，所以，又 ，而，故即.