Question

【題目】已知函數h（x）=（m2﹣5m+1）xm+1為冪函數，且為奇函數．
（1）求m的值；
（2）求函數g（x）=h（x）+ 在x∈[0， ]的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數h（x）=（m2﹣5m+1）xm+1為冪函數，

∴m2﹣5m+1=1，

∴m=5或m=0，

當m=5時，h（x）=x6是偶函數，不滿足題意，

當m=0時，h（x）=x是奇函數，滿足題意；

∴m=0

（2）解：∵g（x）=x+ ，

∴g′（x）=1﹣ ，

令g′（x）=0，解得x=0，

當g′（x）＜0時，即x＞0時，函數為減函數，

∴函數g（x）在[0， ]為減函數，

∴g（ ）≤g（x）≤g（0）

即 ≤g（x）≤1

故函數g（x）的值域為[ ，1]

【解析】（1）首先根據函數是冪函數，可知m2﹣5m+1=1，再驗證相應函數的奇偶性，即可求得實數m的值，（2）化簡g（x），再求導，根據導數判斷g（x）在∈[0， ]的為減函數，故求出值域