Question

【題目】已知函數.

（1）若，求的值；

（2）已知某班共有人，記這人生日至少有兩人相同的概率為，，將一年看作365天.

（i）求的表達式；

（ii）估計的近似值（精確到0.01）.

參考數值：，，.

Answer 1

【答案】(1) (2) （i）（ii）

【解析】

（1）先討論取不同范圍內的值時函數的定義域，并根據函數值判斷出是的極小值點。通過極值點處，求得導函數代入即可求得的值。求出的值后，再代回函數，證明即可。

（2）每個人生日都不同的概率為，所以根據對立事件的概率即可求得至少有兩個人生日相同的概率。

將代入i中得到的式子，可得，令，左右同取對數則，進而可得t的范圍，結合參考數據可求得的近似值。

（1）由題得，當時，的定義域為；

當時，的定義域為，

又，且，

所以是的極小值點，故.

而，于是，解得.

下面證明當時，.

當時，，，，

所以當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，

所以，即符合題意.

綜上，.

（2）（i）由于人生日都不相同的概率為，

故人生日至少有兩人相同的概率為.

（ii）由（1）可得當時，，即，當且僅當時取等號，

由（i）得.

記，

則，

即

由參考數值得

于是

故.