Question

設函數(shù)對任意，都有，當時， 
（1）求證：是奇函數(shù);
（2）試問：在時 ，是否有最大值？如果有，求出最大值，如果沒有，說明理由.
（3）解關于x的不等式

Answer 1

（1）詳見解析；（2）函數(shù)最大值為；（3）①，則解為；②，則解為；③，則無解.

解析試題分析：（1）要證明為奇函數(shù)，需要證明.如何利用所給條件變出這樣一個等式來？
為了產(chǎn)生，令，則.這時的等于0嗎？如何求？再設可得，從而問題得證.
（2）一個連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上必最大值的最小值.為了求函數(shù)的最值，就需要研究函數(shù)的單調(diào)性.研究單調(diào)性，第一，根據(jù)定義，第二利用導數(shù).抽象函數(shù)研究單調(diào)性只能用定義.任取，則，根據(jù)條件可得：即
所以為減函數(shù)，那么函數(shù)在上的最大值為.
（3）有關抽象函數(shù)的不等式，都是利用單調(diào)性去掉.首先要將不等式化為，注意必須是左右各一項.在本題中，由題設可得，在R上為減函數(shù)
，即.下面就解這個不等式.這個不等式中含有參數(shù)，故需要分情況討論.
試題解析：（1）設可得，設，則
所以為奇函數(shù).
（2）任取，則，又
所以
所以為減函數(shù)。
那么函數(shù)最大值為，，
所以函數(shù)最大值為.
（3）由題設可知
即
可化為
即，在R上為減函數(shù)
，即，
①，則解為
②，則解為
③，則無解
考點：1、抽象函數(shù)；2、函數(shù)的性質(zhì)；3、解不等式.