Question

【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=0.5x2-bx， （b為常數(shù)）。

（1）函數(shù)f(x)的圖象在點(1,f(1))處的切線與函數(shù)g(x)的圖象相切，求實數(shù)b的值；

（2）若函數(shù)h(x)=f(x)+g(x)在定義域上不單調(diào)，求實數(shù)b的取值范圍；

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，從而可得 ，點斜式求得切線方程，根據(jù)判別式為零求出 的值即可；（2）求出 的導(dǎo)數(shù)，若函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)，可知在上有解，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于的不等式組，解出即可.

試題解析：（1）因為，所以，因此，

所以函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，

由得.

由，得.（還可以通過導(dǎo)數(shù)來求）.

（2）因為h(x)=f(x)+g(x)=lnx+0.5x2-bx(x>0) ，

所以

若函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)，則

可知在上有解，

因為，設(shè)，因為，

則只要解得，

所以的取值范圍是.

【方法點晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線以及二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即在點 出的切線斜率（當(dāng)曲線在處的切線與軸平行時，在 處導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點斜式求得切線方程.