Question

【題目】定義區間(a,b)，[a,b)，(a,b]，[a,b]的長度均為，多個區間并集的長度為各區間長度之和，例如,(1,2) [3,5)的長度d=(2-1)+(5-3)=3. 用[x]表示不超過x的最大整數，記{x}=x-[x]，其中.設， ，當時,不等式解集區間的長度為，則的值為_______．

Answer 1

【答案】7

【解析】f(x)=[x]{x}=[x](x[x])=[x]x[x]2,g(x)=x1，

f(x)<g(x)[x]x[x]2<x1即([x]1)x<[x]21，

當x∈[0,1)時,[x]=0，上式可化為x>1，

∴x∈；

當x∈[1,2)時,[x]=1，上式可化為0>0，

∴x∈；

當x∈[2,3)時,[x]=2,[x]1>0,上式可化為x<[x]+1=3，

∴當x∈[0,3)時,不等式f(x)<g(x)解集區間的長度為d=32=1；

同理可得,當x∈[3,4)時,不等式f(x)<g(x)解集區間的長度為d=42=2；

∵不等式f(x)<g(x)解集區間的長度為5，

∴k2=5，

∴k=7.

故答案為：7.