Question

【題目】已知函數，.

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）令，討論的單調性.

（3）當時，恒成立，求實數的取值范圍.（ 為自然對數的底數， …）.

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見解析（3）

【解析】

（1）當時，先對函數求導，求得斜率，結合切點坐標，利用點斜式得到切線方程.（2）求出的表達式，對求得，然后將分成四類，討論函數的單調區間.（3）將表達式代入原不等式并化簡，構造函數設利用導數求得函數的最小值，令這個最小值大于零，求得的取值范圍.

解：（1），，，

所以曲線在點處的切線方程為.

（2），定義域為，

，

①當時，當時，，在單調遞增；當時，，在單調遞減；

②當時，當或時，，在，上單調遞增；當時，，在單調遞減；

③當時，在單調遞增；

④當時，當或時，，在，上單調遞增；當時，，在單調遞減.

綜上，當時，在單調遞增，在單調遞減；當時，在，上單調遞增，在單調遞減；當時，在單調遞增；當時，在，上單調遞增，在單調遞減.

（3）當時，，即恒成立，

設，，

顯然在上單調遞增，且，所以當時，；當時，.即在上單調遞減，在上單調遞增. ，所以，

所以的取值范圍為.