Question

【題目】在四棱錐S—ABCD中，底面ABCD為長方形，SB⊥底面ABCD，其中BS=2，BA=2，BC=λ，λ的可能取值為：①；②；③；④；⑤λ=3

（1）求直線AS與平面ABCD所成角的正弦值；

（2）若線段CD上能找到點E，滿足AE⊥SE，則λ可能的取值有幾種情況？請說明理由；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)λ為所有可能情況的最大值時，線段CD上滿足AE⊥SE的點有兩個，分別記為E1，E2，求二面角E1－SB－E2的大小.

Answer 1

【答案】（1）（2）λ可以取①②③，見解析（3）30°

【解析】

（1）由底面，得即為直線與平面所成的角，由此能求出直線與平面所成角的正弦值．

（2）以為坐標(biāo)原點，以、、的方向分別為軸、軸、軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)得到，再根據(jù)的取值范圍得到的取值；

（3）利用向量法能求出夾角的余弦值，進(jìn)而求得二面角的大小．

（1）因為SB⊥底面ABCD，所以∠SAB即為直線AS與平面ABCD所成的角，

在中，

（2）以B為坐標(biāo)原點，以BC、BA、BS的方向分別為x軸、y軸z軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則各點坐標(biāo)分別為：

B(0，0，0)，A(0，2，0)，D(λ，2，0)，S(0，0，2).

設(shè)，所以，

因為x∈[0，2]， ，所以在所給的數(shù)據(jù)中，λ可以取①②③

（3）由（2）知，此時，或，即滿足條件的點E有兩個，

根據(jù)題意得，其坐標(biāo)為和，

因為SB⊥平面ABCD，所以SB⊥BE1， SB⊥BE2，

所以，∠E1BE2是二面角E1SBE2的平面角

由

由題意得二面角E1SBE2為銳角，

所以二面角E1SBE2的大小為30°