Question

【題目】設函數f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＞0；
（Ⅱ）若x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）①當x＜﹣2時，f（x）=1﹣2x+x+2=﹣x+3，令﹣x+3＞0，解得x＜3，又∵x＜﹣2，∴x＜﹣2； ②當﹣2≤x≤ 時，f（x）=1﹣2x﹣x﹣2=﹣3x﹣1，令﹣3x﹣1＞0，解得x＜﹣ ，又∵﹣2≤x≤ ，∴﹣2≤x＜﹣ ；
③當x 時，f（x）=2x﹣1﹣x﹣2=x﹣3，令x﹣3＞0，解得x＞3，又∵x ，∴x＞3．
綜上，不等式f（x）＞0的解集為（﹣∞，﹣ ）∪（3，+∞）．
（Ⅱ）由（I）得f（x）= ，
∴fmin（x）=f（ ）=﹣ ．
∵x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，∴4m﹣2m2＞﹣ ，
整理得：4m2﹣8m﹣5＜0，解得：﹣ ＜m＜ ，
∴m的取值范圍是（﹣ ， ）
【解析】（1）利用零點分區間討論去掉絕對值符號，化為分段函數，在每一個前提下去解不等式，每一步的解都要和前提條件找交集得出每一步的解，最后把每一步最后結果找并集得出不等式的解；（2）根據第一步所化出的分段函數求出函數f（x）的最小值，若x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m成立，只需4m﹣2m2＞fmin（x），解出實數m的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了絕對值不等式的解法的相關知識點，需要掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號才能正確解答此題．