Question

【題目】已知函數f（x）=lnx﹣tx+t.

（1）討論f（x）的單調性；

（2）當t=2時,方程f（x）=m﹣ax恰有兩個不相等的實數根x1,x2,證明：.

Answer 1

【答案】（1）當t≤0時,f（x）在（0,+∞）上單調遞增；當t＞0時,f（x）在（0,）上單調遞增,在（,+∞）上單調遞減；（2）證明見解析.

【解析】

(1)求導后分和兩種情況討論極值點的大小關系以及導函數的正負,進而求得原函數的單調區間即可.

(2)代入,根據f（x）=m﹣ax,可得的兩根分別為,再消去化簡得到,再代入所證的,換元令,進而求導分析導數的正負以及原函數的單調性即可.

（1）f（x）的定義域為（0,+∞）,f′（x）,

當t≤0時,f′（x）＞0恒成立,f（x）在（0,+∞）上單調遞增,

當t＞0時,令f′（x）＞0,得0＜x,令f′（x）＜0,得x.

∴f（x）在（0,）上單調遞增,在（,+∞）上單調遞減.

綜上所述,當t≤0時,f（x）在（0,+∞）上單調遞增；

當t＞0時,f（x）在（0,）上單調遞增,在（,+∞）上單調遞減.

（2）證明：由f（x）=m﹣ax,得lnx+（a﹣2）x+2﹣m=0.

令g（x）=lnx+（a﹣2）x+2,則g（x1）=g（x2）=m.

即lnx1+（a﹣2）x1=lnx2+（a﹣2）x2,

∴a﹣2.

不妨設0＜x1＜x2,要證,

只需證2（2﹣a）,即證.

令（c＞1）,g（c）=2lnc﹣c,

∵g′（c）0.

∴g（c）在（1,+∞）上單調遞減,則g（c）＜g（1）=0.

故成立.