Question

為貫徹“激情工作，快樂生物”的理念，某單位在工作之余舉行趣味知識有獎競賽，比賽分初賽和決賽兩部分，為了增加節目的趣味性，初賽采用選手選—題答—題的方式進行，每位選手最多有5次選答題的機會，選手累計答對3題或答錯3題即終止其初賽的比賽，答對3題者直接進入決賽，答錯3題者則被淘汰，已知選手甲答題的正確率為.
（1）求選手甲答題次數不超過4次可進入決賽的概率；
（2）設選手甲在初賽中答題的個數，試寫出的分布列，并求的數學期望。

Answer 1

（1）選手甲答題次數不超過4次可進入決賽的概率為；（2）詳見解析.

試題分析：（1）先確定甲答題次數不超過四次進入決賽有兩種基本情況：一是答對三道，二是第四道答對，前三道答對兩道，并根據事件的獨立性計算出相應事件的概率，然后再將這兩個概率相加得到題中涉及的事件的概率；（2）列舉出隨機變量的可能取值，根據獨立性重復試驗與事件的獨立性求出隨機變量在相應取值下對應的概率，并列舉出隨機變量的分布列，最后計算出隨機變量的數學期望.
試題解析：（1）選手甲答3道題進入決賽的概率為，
選手甲答4道題進入決賽的概率為，
∴選手甲答題次數不超過4次可進入決賽的概率；
（2）依題意，的可能取值為3、4、5.則有，
，
，
因此，有
∴.