Question

（本大題滿分14分）
已知函數 ，其中,b∈R且b≠0。
（1）求的單調區間；
（2）當b=1時，若方程沒有實根，求a的取值范圍；
（3）證明：，其中．

Answer 1

解：（1）由題意可知：，b≠0時,
令，得，                   （1分）
則①b>0,當時，，單調遞減；                                   
當時，，單調遞增                                  （3分）②b<0,當時，，單調遞增；                                
當時，，單調遞減                                  （5分）
（2）由（1）可得在處取得極小值，且沒有實根，              （7分）
則，即，解得：                               （8分）
（3）方法1：由（2）得，令，成立，
則，恒成立                                              （10分）
故



，即得證。                                                          （14分）
方法2：數學歸納法
（1）        當時，成立；
（2）        當時，成立，
當時，

同理令，，即，               （10分）
則，                         （12分）
故，
即對也成立，
綜合（1）（2）得：，恒成立。      （14分）

略