Question

【題目】已知⊙： 與⊙： ，以， 分別為左右焦點的橢圓： 經過兩圓的交點。

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）、是橢圓上的兩點，若直線與的斜率之積為，試問的面積是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）的面積為定值3.

【解析】試題分析：（Ⅰ）設兩圓的交點為，依題意有解得，進而得；

（Ⅱ）討論斜率不存在和斜率存在時兩種情況，設直線的方程為， ， ，直線與橢圓聯立得， ，由，得，表示面積即可得定值.

試題解析：

（Ⅰ）設兩圓的交點為，依題意有，

由橢圓定義知，解得；

因為， 分別為橢圓的左右焦點，所以，解得，

所以求橢圓的方程為；

（Ⅱ）當直線的斜率不存在時，設

又

設直線的方程為， ， ，

由，得，

由，得 （*）

且， ，

∴

∵，∴，

整理得，

代入（*）得，

∵

原點到直線的距離

∴（定值）。