Question

【題目】已知數列{an}的前n項和 ，其中n∈N* ． （Ⅰ）求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）設 ，求數列{bn}的前n項和Tn；
（Ⅲ）若對于任意正整數n，都有 ，求實數λ的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當n=1時，a1=S1=﹣3；

當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣4n﹣（n﹣1）2+4（n﹣1）=2n﹣5，

因為a1=﹣3符合上式，

所以an=2n﹣5（n∈N*）．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ．

所以Tn=b1+b2+…+bn=（2﹣3+1）+（2﹣1+1）+…+（22n﹣5+1）

=（2﹣3+2﹣1+…+22n﹣5）+n

= = ．

（Ⅲ）

= = ，

當n=1時， ，（注：此時 ），

當n≥2時，因為 ，

所以 ．

則n=1時，取得最大值．

因為對于任意正整數n，都有 ，

由題意，得 ；

所以λ的最小值為 ．

【解析】（Ⅰ）由數列的遞推式：當n=1時，a1=S1；當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1，計算即可得到所求通項；（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ．運用數列的求和方法：分組求和，結合等比數列的求和公式，計算即可得到所求和；（Ⅲ）運用數列的求和方法：裂項相消求和，化簡整理，判斷數列的最值，再由恒成立思想，即可得到所求實數λ的最小值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系，以及對數列的通項公式的理解，了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．