Question

已知函數g（x）=

1

3

x³+2x-3+

m

x

（m＞0）是[1，+∞）上的增函數．當實數m取最大值時，若存在點Q，使得過點Q的直線與曲線y=g（x）圍成兩個封閉圖形，且這兩個封閉圖形的面積總相等，則點Q的坐標為

 

．

Answer 1

考點：定積分在求面積中的應用,函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：先求出m的最大值為3，可得g(x)=

1

3

x3+2x-3+

3

x

，x∈（-∞，0）∪（0，+∞），利用函數g（x）的圖象關于點Q（0，-3）成中心對稱，即可求出點Q的坐標．

解答： 解：由g(x)=

1

3

x3+2x-3+

m

x

得g′(x)=x2+2-

m

x2

．
∵g（x）是[1，+∞）上的增函數，∴g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即x2+2-

m

x2

≥0在[1，+∞）上恒成立．設x²=t，∵x∈[1，+∞），∴t∈[1，+∞），即不等式t+2-

m

t

≥0在[1，+∞）上恒成立．
設y=t+2-

m

t

，t∈[1，+∞），
因為y′=1+

m

t2

＞0，所以函數y=t+2-

m

t

在[1，+∞）上單調遞增，
因此y_min=3-m．
∵y_min≥0，∴3-m≥0，即m≤3．
又m＞0，故0＜m≤3．m的最大值為3．
故得g(x)=

1

3

x3+2x-3+

3

x

，x∈（-∞，0）∪（0，+∞）．
將函數g（x）的圖象向上平移3個長度單位，所得圖象相應的函數解析式為ϕ(x)=

1

3

x3+2x+

3

x

，x∈（-∞，0）∪（0，+∞）．
由于ϕ（-x）=-ϕ（x），所以ϕ（x）為奇函數，故ϕ（x）的圖象關于坐標原點成中心對稱．
由此即得函數g（x）的圖象關于點Q（0，-3）成中心對稱．
這表明存在點Q（0，-3），使得過點Q的直線若能與函數g（x）的圖象圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等．
故答案為：（0，-3）．

點評：本題考查導數知識的運用，考查圖象的對稱性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．