Question

定義“正對數”：ln⁺x=

0，(0＜x＜1) lnx，(x≥1)

，現有四個命題：
①若a＞0，b＞0，則ln⁺（a^b）=bln⁺a；
②若a＞0，b＞0，則ln⁺（ab）=ln⁺a+ln⁺b；
③若a＞0，b＞0，則ln⁺（

a

b

）=ln⁺a-ln⁺b；
④若a＞0，b＞0，則ln⁺（a+b）≤ln⁺a+ln⁺b+ln2；
其中的真命題有

 

 （寫出所有真命題的序號）

Answer 1

考點：對數的運算性質,命題的真假判斷與應用

專題：函數的性質及應用

分析：利用對數的運算法則、新定義“正對數”即可得出．

解答： 解：①若1＞a＞0，b＞0，a^b∈（0，1），ln⁺a=0，則ln⁺（a^b）=b•0=bln⁺a，同理對于a≥1，b＞0；1＞b＞0，a＞0；b≥1，a＞0，也成立；
②若1＞a＞0，b＞1，1＞ab＞0，可得：ln⁺（ab）=0，ln⁺a+ln⁺b=0+lnb，不成立；
③若a＞0，b＞0，b＞1＞a，則ln⁺（

a

b

）=0，ln⁺a-ln⁺b=0-lnb≠0，不成立；
④若a＞0，b＞0，1＞a+b＞0，則ln⁺（a+b）=0，ln⁺a+ln⁺b+ln2=ln2，此時成立，同理對于其它情況也成立．
綜上可得：只有①④正確．
故答案為：①④．

點評：本題考查了對數的運算法則、新定義“正對數”，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．