Question

已知△ABC的三內角A, B, C所對邊的長依次為a,b,c，若cosA＝,cosC＝．

（1）求cos B的值；

（2）若|＋|＝，求BC邊上中線的長．

 

Answer 1

（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）為三角形內角，由的值，可求出，由三角形內角和定理可得：，利用三角函數兩角和的余弦函數公式展開即可求出的值；（2）由|＋|＝，可兩邊平方得，||2＋||2＋2||||＝46，由（1）知的值，先求出，由正弦定理和上式可求出的值，再由余弦定理可求邊上中線的長．

試題解析：（1）依題設：sinA＝＝＝，sinC＝＝＝，

故cosB＝cos[π－（A＋C）]＝－cos （A＋C）＝－（cosAcosC＋sinAsinC）＝－（－）＝．

（2） 由（1）知：sinB＝＝＝，再由正弦定理易得：＝＝，

不妨設：a＝4k，b＝5k，c＝6k，k＞0．故知：||＝b＝5k，||＝a＝4k．

依題設知：||2＋||2＋2||||cosC＝46 46k2＝46，又k＞0k＝1．

故△ABC的三條邊長依次為：a＝4，b＝5，c＝6．

若設BC的中點為D，由余弦定理得：AD2＝62＋22－2×6×2cos B＝40－2×6×2×＝．

故BC邊上的中線長為：．【注】本小題還可通過求|＋|來解答．

考點：兩角和與差的余弦函數，同角三角函數間的基本關系，正弦定理余弦定理的綜合應用．