Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一個頂點到其左、右兩個焦點F₁，F₂的距離分別為5和1；點P是橢圓上一點，且在x軸上方，直線PF₂的斜率為-

15

．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）求△F₁PF₂的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設P（x，y），F₁（-c，0），F₂（c，0），利用P到其左、右兩個焦點F₁，F₂的距離分別為5和1，且在x軸上方，直線PF₂的斜率為-

15

，建立方程組，即可求得橢圓E的方程；
（Ⅱ）△F₁PF₂的面積=

1

2

×2c×y，由此可得結論．

解答：解：（Ⅰ）設P（x，y），F₁（-c，0），F₂（c，0），則a-c=1，a+c=5
∴a=3，c=2
∴b=

a2-c2

=

5

∵P到其左、右兩個焦點F₁，F₂的距離分別為5和1，且在x軸上方，直線PF₂的斜率為-

15

．
∴

(x+c)2+y2 =5 (x-c)2+y2 =1 y x-c =- 15 y＞0

，∴

x= 385 -1 8 c= 385 +1 8 y= 15 4

∵P到其左、右兩個焦點F₁，F₂的距離分別為5和1，∴2a=6，∴a=3
∴b²=a²-c²=

75- 385

8

∴橢圓E的方程為

x2

9

+

y2

75- 385 8

=1；
（Ⅱ）△F₁PF₂的面積=

1

2

×2c×y=

385 +1

8

×

15

4

=

5 231 + 15

32

．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查三角形的面積的計算，屬于中檔題．