Question

數列{a_n}是等差數列的一個充要條件是（S_n是該數列前n項和）（　　）

• A、S_n=a_n+b
• B、S_n=a_n²+b_n+c
• C、S_n=a_n²+b_n （a≠0）
• D、S_n=a_n²+b_n

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：簡易邏輯

分析：設S_n=a_n²+b_n+c，由S_n求a_n的過程可得必要條件是：a≠0，c=0．只需再證明充分性即可，注意n的范圍的限制．

解答： 解：設S_n=a_n²+b_n+c
當n=1時，a₁=a+b+c；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2an+b-a
由于a≠0，∴當n≥2時，{a_n}是公差為2a等差數列．
要使{a_n}是等差數列，則a₂-a₁=2a，解得c=0．
即{a_n}是等差數列的必要條件是：a≠0，c=0．
充分性：
當a≠0，c=0時S_n=a_n²+b_n．
當n=1時，a₁=a+b；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2an+b-a，
顯然當n=1時也滿足上式，
∴a_n=2an+b-a，進而可得a_n-a_n-1=2a，
∴{a_n}是等差數列．
綜上可知，數列{a_n}是等差數列的充要條件是：S_n=a_n²+b_n．
故選：C

點評：本題考查等差數列的通項公式和求和公式的特點，涉及充要條件的證明，屬中檔題．