Question

【題目】設函數（為自然對數的底數）．

（1）當時，求的最大值；

（2）當時，恒成立，證明：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析．

【解析】試題分析：（1）求出當 時，函數 的導數，求得增區間和減區間，即可得到極大值，即為最大值 ；
（2）①當 時， 即

②當 時， ，分別求出右邊函數的最值或值域，即可得證a=1．

試題解析：（1）當a＝1時，f ′(x)＝－ex＋(1－x)ex＝－xex．

當x＞0時，f ′(x)＜0，f (x)在(0，＋∞)上單調遞減；

當x＜0時，f ′(x)＞0，f (x)在(－∞，0)上單調遞增．

故f (x)在x＝0處取得最大值．

（2）①當x∈(－∞，0)時，＜1(a－x)ex＞x＋1即a＞x＋，

令g(x)＝x＋，g′(x)＝1－＞0，則g(x)在(－∞，0)上是增函數，g(x)＜g(0)＝1，a≥1．

②當x∈(0，＋∞)時，＜1(a－x)ex＜x＋1，a＜x＋，由①知g′(x)＝，

令h(x)＝ex－x，h′(x)＝ex－1＞0，則h(x)＞h(0)＝1，g′(x)＞0，g(x)＞g(0)＝1，a≤1.

故a＝1．