Question

【題目】若二次函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與直線y=x無交點，現有下列結論：
①若a=1，b=2，則c＞
②若a+b+c=0，則不等式f（x）＞x對一切實數x都成立
③函數g（x）=ax2﹣bx+c的圖象與直線y=﹣x也一定沒有交點
④若a＞0，則不等式f[f（x）]＞x對一切實數x都成立
⑤方程f[f（x）]=x一定沒有實數根
其中正確的結論是 （寫出所有正確結論的編號）

Answer 1

【答案】①③④⑤
【解析】（1）f（x）=x2+2x+c，
令f（x）=x=x2+2x+c，
整理得x2﹣x+c=0，要使函數f（x）的圖象與直線y=x無交點，
需△=1﹣4c＜0，即c＞ ， 故①正確．
（2）依題意知f（1）=a+b+c=0，
故二次函數f（x）=ax2+bx+c有一個零點（1，0），
∴若a+b+c=0，則不等式f（x）＞x不是對一切實數x都成立，
故②錯誤．
（3）聯立二次函數和直線方程整理得ax2+（b﹣1）x+c=0，圖象無交點，
∴△=（b﹣1）2﹣4ac＜0，
聯立 ，
消去y得ax2+bx+c=0，△=（b﹣1）2﹣4ac＜0，
∴函數g（x）=ax2﹣bx+c的圖象與直線y=﹣x也一定沒有交點，
故③正確．
（4）因為函數f（x）的圖象與直線y=x沒有交點，所以當a＞0時，f（x）＞x
∴f[f（x）]=f（x），
∴f[f（x）]=f（x）＞x恒成立．故④結論正確．
（5）因為函數f（x）的圖象與直線y=x沒有交點，所以f（x）＞x（a＞0）或f（x）＜x（a＜0）恒成立．
因為f[f（x）]＞f（x）＞x或f[f（x）]＜f（x）＜x恒成立，所以f[f（x）]=x沒有實數根；
故⑤結論正確．
所以答案是：①③④⑤．
【考點精析】認真審題，首先需要了解二次函數的性質(當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減)．