Question

【題目】在矩形中， ， 是邊的中點，如圖（1），將沿直線翻折到的位置，使，如圖（2）.

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）已知， ， 分別是線段， ， 上的點，且， ， 平面，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) 直線與平面所成角的正弦值為.

【解析】試題分析：（Ⅰ）先證明平面，從而可得，由平面幾何知識可得，由線面垂直的判定定理可得BE⊥平面PCE，進(jìn)而由面面垂直的判定定理可得結(jié)論；（Ⅱ）以點為原點，分別以， 所在直線為， 軸，以經(jīng)過點且垂直于平面的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量以及直線的方向向量，利用空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.

試題解析：（Ⅰ）證明：連結(jié)，由題意可知.

又因為， ， ， 平面，

所以平面.

又因為平面，

所以.

又因為在矩形中， ，

所以.

又因為， ， 平面，

所以平面.

又因為平面，

所以平面平面.

（Ⅱ）在圖（2）中，以點為原點，分別以， 所在直線為， 軸，以經(jīng)過點且垂直于平面的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示.

由題意可知， ， ，

取的中點，連結(jié).

由（Ⅰ）可知平面平面.

又因為，所以.

又因為平面平面，

所以平面.

可得.

又因為，所以.

因為，可得.

設(shè)，可得.

所以.

又因為， ，

設(shè)平面的法向量為，

則令，可得，

所以

因為平面，所以，可得.

所以.

由（Ⅰ）可知平面，所以是平面的一個法向量， .

可得.

所以直線與平面所成角的正弦值為.

【方法點晴】本題主要考查面面垂直的判定定理、利用空間向量求線面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.