Question

【題目】已知函數f(x)＝(2x＋b)ex，F(x)＝bx－ln x，b∈R.

(1)若b<0，且存在區間M，使f(x)和F(x)在區間M上具有相同的單調性，求實數b的取值范圍；

(2)若F(x＋1)>b對任意x∈(0，＋∞)恒成立，求實數b的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)(－∞，－2).(2)[1，＋∞).

【解析】試題分析：（1）求出函數f（x）的導函數，由導函數的符號求得函數的單調區間，再求出函數F（x）的導函數，由b＜0，可得F′（x）＜0，則F（x）在定義域（0，+∞）上為減函數，要使存在區間M，使f（x）和F（x）在區間M上具有相同的單調性，需＞0，求解可得b的范圍；（2）由F（x+1）＞b對任意x∈（0，+∞）恒成立，可得bx﹣ln（x+1）＞0對任意x∈（0，+∞）恒成立，令g（x）=bx﹣ln（x+1），求導可得b≤0時， 0＜b＜1時， b≥1時，這幾種情況下的函數最值，求得參數范圍。

解析：

(1)f′(x)＝ex(2x＋b＋2)，

由f′(x)<0得x<；由f′(x)>0得.

F(x)的定義域為(0，＋∞)，且F′(x)＝b－，

∵b<0，∴F′(x)<0，即F(x)在(0，＋∞)上單調遞減.

∵f(x)和F(x)在區間M上具有相同的單調性，

∴>0，得b<－2，即實數b的取值范圍是(－∞，－2).

(2)由F(x＋1)>b得ln(x＋1)－bx<0.

∵x>0， 在x∈(0，＋∞)上恒成立.

設g(x)＝ln(x＋1)－x，則g′(x)＝－1<0，

∴g(x)在(0，＋∞)上遞減，∴g(x)<g(0)＝0.

∴ln(x＋1)－x<0，即<1，∴b≥1.

因此實數b的取值范圍是[1，＋∞).