Question

如圖四棱錐P-ABCD的底面是梯形，BC∥AD，AB=BC=CD=1，AD=2，平面PAC⊥平面ABCD．
（1）求證：AP⊥CD；
（2）當PA=PC=

6

2

時，求直線PD與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）運用等腰梯形的知識可得CD⊥AC，再由面面垂直的性質得到線面垂直，進而得到線線垂直；
（2）由面面垂直的性質定理可得PM⊥平面ABCD，過D作DH⊥平面PBC，垂足為H，連接CH，則∠DCH即為直線PD與平面PBC所成角．再由V_P-BCD=V_D-PBC，運用三棱錐的體積公式計算即可得到DH，再解直角三角形即可得到正弦值．

解答： （1）證明：在等腰梯形ABCD中，由于AB在AD上的射影長為

1

2

，
則∠BAD=60°，即有∠D=60°，∠ABC=120°，
則∠ACB=30°，∠ACD=90°，
即有CD⊥AC，
由于平面PAC⊥平面ABCD，則CD⊥平面PAC，
則CD⊥AP；
（2）解：在三角形ABC中，AB=，BC=1，∠B=120°，
可得AC=

1+1+2×1×1× 1 2

=

3

，
取AC中點M，連接PM，由于PA=PC=

6

2

，則PM⊥AC，
即有PM=

6 4 - 3 4

=

3

2

，
由于平面PAC⊥平面ABCD，則有PM⊥平面ABCD，
PM⊥BM，則PB=

3 4 + 1 4

=1，
過D作DH⊥平面PBC，垂足為H，連接CH，則∠DCH即為直線PD與平面PBC所成角．
由V_P-BCD=V_D-PBC，即有

1

3

PM•S_△BCD=

1

3

DH•S_△PBC，
即為

3

2

×

1

2

×1×1×

3

2

=DH•

1

2

×

6

2

×

1- 6 16

，
解得，DH=

15

5

，
則有直線PD與平面PBC所成角的正弦值

DH

DC

=

15

5

．

點評：本題考查面面垂直的性質定理的運用，考查直線和平面所成的角的求法，考查體積法求點到平面的距離，考查運算能力，屬于中檔題．