Question

如圖，在正三角形ABC中，

內切圓半徑

外接圓半徑

=

OD

OA

=

OD

AD-OD

=

OD AD

1- OD AD

，而

OD

AD

=

S△OBC

S△ABC

=

1

3

，所以

內切圓半徑

外接圓半徑

=

1

2

．應用類比推理，在正四面體ABCD（每個面都是正三角形的四面體）中，

內切球的半徑r

外接球的半徑R

=

 

．

Answer 1

考點：類比推理

專題：推理和證明

分析：本題考查的知識點是類比推理，在由平面幾何的性質類比推理空間立體幾何性質時，我們常用的思路是：由平面幾何中點的性質，類比推理空間幾何中線的性質；由平面幾何中線的性質，類比推理空間幾何中面的性質；由平面幾何中面的性質，類比推理空間幾何中體的性質；或是將一個二維平面關系，類比推理為一個三維的立體關系，故類比平面內三角形的性質，我們可以推斷四面體的相關性質．

解答： 解：在由平面幾何的性質類比推理空間立體幾何性質時，我們常用的思路是：
由平面幾何中點的性質，類比推理空間幾何中線的性質；
由平面幾何中線的性質，類比推理空間幾何中面的性質；
由平面幾何中面的性質，類比推理空間幾何中體的性質；
或是將一個二維平面關系，類比推理為一個三維的立體關系，
故類比在正三角形ABC中，

內切圓半徑

外接圓半徑

=

OD

OA

=

OD

AD-OD

=

OD AD

1- OD AD

，而

OD

AD

=

S△OBC

S△ABC

=

1

3

，所以

內切圓半徑

外接圓半徑

=

1

2

．
可得：在正四面體ABCD（每個面都是正三角形的四面體）中，

內切球的半徑r

外接球的半徑R

=

OE

OA

=

OE

AE-OE

=

OE OA

1- OE OA

，而

OE

OA

=

VO-BCD

VA-BCD

=

1

4

，
所以

內切球的半徑r

外接球的半徑R

=

1

3

，
故答案為：

1

3

點評：類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）．但類比推理的結論不一定正確，還需要經過證明，我們在進行類比推理時，一定要注意對結論進行進一步的論證，如果要證明一個結論是正確的，要經過嚴密的論證，但要證明一個結論是錯誤的，只需要舉出一個反例．