Question

【題目】已知函數.

(1)討論的單調性;

(2)用表示中的最大值，若函數只有一個零點,求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 在上單調遞減,在上單調遞增，.

(2)

【解析】

(1)先求函數的導函數，再討論時, 時,函數的單調性即可；

(2)分別討論函數在當，當時，當時,函數零點個數，然后結合函數在的零點個數即可得解.

解:(1)函數的定義域為,且.

當時,對恒成立,所以在上單調遞增.

當時,令,得,

當時,;當時,.

所以在上單調遞減,在上單調遞增，.

(2)①當時, ,從而,所以在上無零點，

②當時, ,

若,所以是的零點;

若,所以不是的零點.

③當時, ,所以在上的零點個數只需要考慮在上的零點個數.

在上的零點個數在上實根的個數在上實根的個數.

令函數,則,所以在上單調遞減,在上單調遞增；又，，，

當或時，在上無零點;當或時, 在上有唯一零點， 時, 在上有兩個零點，

綜上可得：當時，在上有無零點, 當時，在上有1個零點, 當時，在上有2個零點, 當時，在上有1個零點,

則在上有唯一零點, 的取值范圍為.