Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，試求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若且，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，有2個(gè)極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程有兩解，利用導(dǎo)數(shù)分析，得函數(shù)大致形狀，即可求解；

（2）不妨令，利用單調(diào)性知，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值即可得證.

（1）∵，

∴.

令，

函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，即方程有兩個(gè)不相等的根，

顯然時(shí)，方程不成立，即不是方程的根，

所以原方程有兩個(gè)不相等的根轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不相等的根，

不妨令.

，

∴在，遞減，在遞增，，且時(shí)，.

∵方程有兩個(gè)不等根，

圖象與圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，

∴只需滿足

即.

（2）不妨令，

∴在遞減.

，不妨令：，

∴.

令，

則，

由得，

由得，

∴在遞減，在遞增.

∴，

∴，

∴在遞增.

∴，

當(dāng)且時(shí)，.