Question

【題目】已知直線y=x+b與函數(shù)f(x)=ln x的圖象交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A,B,其橫坐標(biāo)分別為x1,x2,且x1<x2.

(1)求b的取值范圍;

(2)當(dāng)x2≥2時(shí),證明x1·<2.

Answer 1

【答案】（1）b的取值范圍是(-∞,-1)；（2）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）先轉(zhuǎn)化為方程兩個(gè)根的情況，再研究函數(shù)g(x)=x-ln x+b單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)圖像確定有兩個(gè)零點(diǎn)的條件，即得b的取值范圍;（2）先根據(jù)零點(diǎn)構(gòu)造差函數(shù)：g(x1)-g= g(x2)-g，再利用導(dǎo)數(shù)研究差函數(shù)的單調(diào)性，最后根據(jù)單調(diào)性證明不等式.

試題解析：(1)解 由題意可得x-ln x+b=0有兩個(gè)不同的實(shí)根.

設(shè)g(x)=x-ln x+b(x>0),

則g'(x)=1-(x>0).

當(dāng)0<x<1時(shí),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)x>1時(shí),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.

可得g(x)在x=1處取得最小值b+1,

當(dāng)b<-1時(shí),b=ln x-x在(0,1)和(1,+∞)各有一個(gè)實(shí)根,

故b的取值范圍是(-∞,-1).

(2)證明 由(1)可得0<x1<1,x2>1,g(x1)=g(x2)=0,

故g(x1)-g=(x1-ln x1+b)-=(x2-ln x2+b)-=x2-3ln x2-+ln 2.

令h(t)=t--3ln t+ln 2,

則h'(t)=1-

=.

當(dāng)t≥2時(shí),h'(t)≥0,h(t)單調(diào)遞增,

即h(t)≥h(2)=-2ln 2>0,

所以當(dāng)x2≥2時(shí),g(x1)-g>0,

即g(x1)>g.

因?yàn)?/span>g(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,且0<x1<1,0<<1,

所以x1<,可得x1·<2.