Question

【題目】已知二次函數，關于的不等式的解集為，其中．

（1）求的值；

（2）令，若函數存在極值點，求實數的取值范圍，并求出極值點．

Answer 1

【答案】（I）a=﹣2；（II）解題過程如解析所示

【解析】試題分析：（1）令f（b）-（2b-1）b+b2=1即可解出a；（2）求出φ′（x），令φ′（x）=0，討論b的符號得出兩根與區間（0，1）的關系，從而得出φ（x）的單調性，得出極值的情形．

試題解析：（I）∵f（x）﹣（2b﹣1）x+b2＜1的解集為（b，b+1），

即x2+（a﹣2b+1）x+b2+b＜0的解集為（b，b+1），

∴方程x2+（a﹣2b+1）x+b2+b=0的解為x1=b，x2=b+1，

∴b+（b+1）=﹣（a﹣2b+1），解得a=﹣2．

（II）φ（x）得定義域為（1，+∞）．

由（I）知f（x）=x2﹣2x+b+1，∴g（x）==x﹣1+，

∴φ′（x）=1﹣﹣=，

∵函數φ（x）存在極值點，∴φ′（x）=0有解，

∴方程x2﹣（2+k）x+k﹣b+1=0有兩個不同的實數根，且在（1，+∞）上至少有一根，

∴△=（2+k）2﹣4（k﹣b+1）=k2+4b＞0．

解方程x2﹣（2+k）x+k﹣b+1=0得x1=，x2=

（1）當b＞0時，x1＜1，x2＞1，

∴當x∈（1，）時，φ′（x）＜0，當x∈（，+∞）時，φ′（x）＞0，

∴φ（x）在（1，）上單調遞減，在（，+∞）上單調遞增，

∴φ（x）極小值點為

（2）當b＜0時，由△=k2+4b＞0得k＜﹣2，或k＞2，

若k＜﹣2，則x1＜1，x2＜1，

∴當x＞1時，φ′（x）＞0，∴φ（x）在（1，+∞）上單調遞增，不符合題意；

若k＞2，則x1＞1，x2＞1，

∴φ（x）在（1，）上單調遞增，在（，）上單調遞減，在（，+∞）單調遞增，

∴φ（x）的極大值點為，極小值點為．

綜上，當b＞0時，k取任意實數，函數φ（x）極小值點為；

當b＜0時，k＞2，函數φ（x）極小值點為，極大值點為