Question

【題目】如圖，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的側面ACC1A1是正方形，AC=BC，點O是側面ACC1A1的中心，∠ACB= ，M在棱BC上，且MC=2BM=2．

（1）證明BC⊥AC1；
（2）求OM的長度．

Answer 1

【答案】
（1）證明：因為ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，

所以CC1⊥底面ABC，

所以CC1⊥BC，

又∠ACB= ，即BC⊥AC，

而CC1，AC面ACC1A1，且CC1∩AC=C，

所以BC⊥面ACC1A1，

而AC1面ACC1A1，

所以BC⊥AC1

（2）解：由（1）可知BC⊥OC，

因為MC=2，OC= ，

所以OM= =

【解析】（1）推導出CC1⊥BC，BC⊥AC，從而BC⊥面ACC1A1 ， 進而BC⊥AC1；（2）由（1）可知BC⊥OC，利用勾股定理求OM的長度．
【考點精析】認真審題，首先需要了解棱柱的結構特征(兩底面是對應邊平行的全等多邊形；側面、對角面都是平行四邊形；側棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形)．