Question

【題目】已知拋物線，焦點為，直線交拋物線于兩點，是線段的中點，過作軸的垂線交拋物線于點.

（1）求拋物線的焦點坐標；

（2）若拋物線上有一點到焦點的距離為，求此時的值；

（3）是否存在實數，使是以為直角頂點的直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，2.

【解析】

（1）拋物線，即，可求出焦點坐標，即可求得答案；

（2）利用拋物線的定義把焦點的距離為轉化為到準線的距離為，即可求得答案；

（3）是以為直角頂點的直角三角形即是，把直線方程和拋物線方程聯立，可以得到兩點的坐標進而求得以及的坐標，代入是，即可求得答案.

（1）拋物線，

即

∴拋物線的焦點為

（2）∵拋物線上有一點到焦點的距離為，

（3）聯立方程消去

可得，

設

則①

是線段的中點，

,即

得

若存在實數，使是以為直角頂點的直角三角形，則是

即

結合①化簡得

即

或 (舍去)，經檢驗滿足判別式大于0

存在實數，使是以為直角頂點的直角三角形．