Question

【題目】已知圓C經過點A（1，3）、B（2，2），并且直線m：3x﹣2y=0平分圓C．
（1）求圓C的方程；
（2）若過點D（0，1），且斜率為k的直線l與圓C有兩個不同的交點M、N．
（Ⅰ）求實數k的取值范圍；
（Ⅱ）若 =12，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設圓C的標準方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2

∵圓C被直線m：3x﹣2y=0平分，∴圓心C（a，b）在直線m上，可得3a﹣2b=0…①，

又∵點A（1，3）、B（2，2）在圓上，∴ …②，

將①②聯解，得a=2，b=3，r=1．

∴圓C的方程是（x﹣2）2+（y﹣3）2=1

（2）解：過點D（0，1）且斜率為k的直線l方程為y=kx+1，即kx﹣y+1=0，

（I）∵直線l與圓C有兩個不同的交點M、N，

∴點C（2，3）到直線l的距離小于半徑r，

即 ，解之得 ＜k＜ ；

（II）由 消去y，得（1+k2）x2﹣（4+4k）x+7=0．

設直線l與圓C有兩個不同的交點坐標分別為M（x1，y1）、N（x2，y2），

可得x1+x2= ，x1x2= ，

∴y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1= + +1，

∵ = +（ + +1）=12，解之得k=1．

【解析】（1）設圓C的標準方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2 ． 由圓C被直線平分可得3a﹣2b=0，結合點A、B在圓上建立關于a、b、r的方程組，解出a、b、r的值即可得到圓C的方程；（2）（I）由題意，得直線l方程為kx﹣y+1=0，根據直線l與圓C有兩個不同的交點，利用點到直線的距離建立關于k的不等式，解之即可得到實數k的取值范圍；（II）直線l方程與圓C方程聯解消去y，得（1+k2）x2﹣（4+4k）x+7=0．設M（x1 ， y1）、N（x2 ， y2），利用根與系數的關系、直線l方程和向量數量積的坐標運算公式，化簡 =12得到關于k的方程，解之即可得到k的值．
【考點精析】通過靈活運用圓的標準方程，掌握圓的標準方程：；圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程即可以解答此題．