Question

已知兩點M(-2，0)，N(2，0)，動點P在y軸上的射影為為H，||是2和的等比中項.

(Ⅰ)求動點P的軌跡方程，并指出方程所表示的曲線；

(Ⅱ)若以點M，N為焦點的雙曲線C過直線x+y=1上的點Q，求實軸最長的雙曲線C的方程．

Answer 1

解：(1)設動點的坐標為P(x，y)，則H(0，y)，

=(-x，0)，=(-2-x，-y)，=(2-x，-y).

∴·=(-2-x,-y)·(2-x,-y)=x²-4+y²,||=|x|

由題意得||²=2·,即x²=2(x²-4+y²)

即=1(x≠0) 

(Ⅱ)由已知求得N(2，0)關于直線x+y=1的對稱點

E(1，-1)，則|QK|=|QN|

雙曲線C的實軸長2a=||QM|-|QN||=||QM|-|QE||≤|ME|=(當且僅當Q、E、M共線時取“=”)，此時，實軸長2a最大為所以，雙曲線C的實半軸長a=

又∵c=|NM|=2，∴b²=c²-a²=

∴雙曲線C的方程為=1