Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=log2（x+1），g（x）=log2（3x+1）．
（1）求出使g（x）≥f（x）成立的x的取值范圍；
（2）在（1）的范圍內(nèi)求y=g（x）﹣f（x）的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=log2（x+1），g（x）= ，g（x）≥f（x），

∴l(xiāng)og2（x+1）≤ ，

∴3x+1≥x+1＞0，

∴x≥0．

（2）解：∵y=g（x）﹣f（x）

= ﹣log2（x+1）

= （x≥0）．

令h（x）= =3﹣ ，

則h（x）為[0，+∞）上的增函數(shù)，

∴h（x）min=h（0）=1，

由復合函數(shù)的性質(zhì)得：y=g（x）﹣f（x）的最小值為log21=0

【解析】（1）利用對數(shù)函數(shù)y=log2x的單調(diào)性即可求得g（x）≥f（x）成立的x的取值范圍；（2）利用函數(shù)y=g（x）﹣f（x）的性質(zhì)即可求得其最小值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(過定點（1，0），即x=1時，y=0;a>1時在（0，+∞）上是增函數(shù);0>a>1時在（0，+∞）上是減函數(shù))．