Question

【題目】已兩動圓和，把它們的公共點的軌跡記為曲線，若曲線與軸的正半軸交點為，且曲線上異于點的相異兩點、滿足.

(1)求曲線的方程；

(2)證明直線恒經(jīng)過一定點，并求出此定點的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線恒過定點。

【解析】

（1）設(shè)兩動圓的公共點為，則有，運用橢圓的定義，即可得到，，，進(jìn)而得到的軌跡方程；

（2），設(shè)，，，，根據(jù)直線的斜率不存在和存在，設(shè)出直線方程，根據(jù)條件，運用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合韋達(dá)定理和直線恒過定點的求法，即可得到定點；

解：（1）設(shè)兩動圓的公共點為，則有．

由橢圓的定義可知的軌跡是以、為焦點橢圓，且．，

所以曲線的方程是：．

（2）證明：由題意可知：，設(shè)，，，，

當(dāng)的斜率不存在時，易知滿足條件的直線為：，過定點；

當(dāng)的斜率存在時，設(shè)直線，聯(lián)立方程組：，

把②代入①有：，

③，④，

因為，所以有即，

，

把③④代入整理：，

（有公因式繼續(xù)化簡得，或（舍去，

綜上，直線恒過定點．