Question

已知函數f（x）=e^x（ax+b），曲線y=f（x）經過點P（0，2），且在點P處的切線為l：y=4x+2．
（1）求常數a，b的值；
（2）求證：曲線y=f（x）和直線l只有一個公共點；
（3）是否存在常數k，使得x∈[-2，-1]，f（x）≥k（4x+2）恒成立？若存在，求常數k的取值范圍；若不存在，簡要說明理由．

Answer 1

（1）f′（x）=e^x（ax+a+b）…（1分），
依題意，

f(0)=2 f/(0)=4

，
即

e0(a×0+b)=2 e0(a×0+a+b)=4

…（3分），
解得a=b=2…（5分）．
（2）記g（x）=e^x（ax+b）-（4x+2）=2e^x（x+1）-2（2x+1），
則g′（x）=2e^x（x+2）-4…（6分），
當x=0時，g′（x）=0；
當x＞0時，g′（x）＞0；
當x＜0時，g′（x）＜0…（8分），
∴g（x）≥g（0）=0，等號當且僅當x=0時成立，
即f（x）≥4x+2，等號當且僅當x=0時成立，曲線y=f（x）和直線l只有一個公共點…（9分）．
（3）x∈[-2，-1]時，4x+2＜0，
∴f（x）≥k（4x+2）恒成立當且僅當k≥

f(x)

4x+2

=

ex(x+1)

2x+1

…（10分），
記h(x)=

ex(x+1)

2x+1

，x∈[-2，-1]，
h/(x)=

ex(2x2+3x)

(2x+1)2

…（11分），
由h′（x）=0得x=0（舍去），x=-

3

2

…（12分）
當-2≤x＜-

3

2

時，h′（x）＞0；
當-

3

2

＜x≤-1時，h′（x）＜0…（13分），
∴h(x)=

ex(x+1)

2x+1

在區間[-2，-1]上的最大值為h(-

3

2

)=

1

4

e-

3

2

，常數k的取值范圍為(

1

4

e-

3

2

，+∞)…（14分）．