Question

已知函數(shù)g（x）=（a-2）x（x＞-1），函數(shù)f（x）=ln（1+x）+bx的圖象如圖所示．
（I）求b的值；
（II）求函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

（I）f′(x)=

1

1+x

+b，
由圖知f'（-0.5）=0⇒b=-2；
（II）F（x）=f（x）-g（x）=ln（1+x）-2x-（a-2）x=ln（1+x）-ax，得到F′(x)=

1

1+x

-a，
令F'（x）=

1

1+x

-a＞0⇒因?yàn)閤+1＞0⇒ax＜1-a
當(dāng)a＞0時(shí)，F(xiàn)'（x）＞0⇒-1＜x＜

1

a

-1，故函數(shù)F（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-1，

1

a

-1），單調(diào)減區(qū)間(

1

a

-1，+∞)；
當(dāng)a＜0時(shí)，F(xiàn)'（x）＞0⇒x＞-1，故函數(shù)F（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-1，+∞）；
當(dāng)a=0時(shí)，F(xiàn)'（x）＞0⇒x＞-1，故函數(shù)F（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-1，+∞），
綜上所述：
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)F（x）的單調(diào)增區(qū)間是(-1，

1

a

-1)，單調(diào)減區(qū)間是(

1

a

-1，+∞)．
當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)F（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-1，+∞）．