Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的圖象在處的切線方程；

（2）若函數(shù)在上有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍；

（3）是否存在實數(shù)，使得對任意的，都有函數(shù)的圖象在的圖象的下方？若存在，請求出最大整數(shù)的值；若不存在，請說理由.

（參考數(shù)據(jù)： ， ）.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）最大整數(shù)的值為.

【解析】試題分析：（1）求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義進行求解；（2）利用參數(shù)分離法，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)有兩個不同的交點即可；（3）的圖象在的圖象的下方，等價為對任意的， 恒成立，利用參數(shù)分離法，結合函數(shù)的單調(diào)性和導數(shù)之間的關系進行期間即可.

試題解析：（1）因為，所以，則所求切線的斜率為，

又，故所求切線的方程為.

（2）因為，則由題意知方程在上有兩個不同的根.

由，得，

令，則，由，解得.

當時， ， 單調(diào)遞減；當時， ， 單調(diào)遞增，

所以當時， 取得最小值為.

又， （圖象如右圖所示），

所以，解得.

（3）假設存在實數(shù)滿足題意，則不等式對恒成立.

即對恒成立.

令，則，

令，則，

因為在上單調(diào)遞增， ， ，且的圖象在上不間斷，所以存在，使得，即，則，

所以當時， 單調(diào)遞減；當時， 單調(diào)遞增，

則取到最小值 ，…14分

所以，即在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.

所以，

所以存在實數(shù)滿足題意，且最大整數(shù)的值為.