Question

如圖，邊長為a的等邊三角形ABC的中線AF與中位線DE交于點G，已知△A′DE（A∉平面ABC）是△ADE繞DE旋轉過程中的一個圖形，有下列命題：
①平面A′FG⊥平面ABC；
②BC∥平面A′DE；
③三棱錐A′-DEF的體積最大值為

1

64

a³；
④動點A′在平面ABC上的射影在線段AF上；
⑤直線DF與直線A′E可能共面．
其中正確的命題是

 

（寫出所有正確命題的編號）

Answer 1

分析：根據空間線面平行，面面垂直，以及共面定理分別進行判斷即可．

解答：解：①中由已知可得四邊形ABCD 是菱形，
則DE⊥GA′，DE⊥GF，
∴DE⊥平面A′FG，∴面A′FG⊥面ABC，①正確；
又 BC∥DE，∴BC∥平面A′DE；②正確；
當面A′DE⊥面ABC 時，三棱錐A′-DEF 的體積達到最大，最大值為

1

3

×

1

4

×

3

4

a²×

3

4

a=

1

64

a³，③正確；
由面A′FG⊥面ABC，可知點A′在面ABC 上的射影在線段AF 上，∴④正確；
在旋轉過程中DF 與直線A′E 始終異面，⑤不正確．
故答案為：①②③④

點評：本題主要考查空間直線和平面位置關系的判斷，要求熟練掌握相應的性質定理和判定定理．