Question

如圖，邊長為a的等邊三角形ABC的中線AF與中位線DE交于點G，將△ADE繞DE旋轉得到△A′DE（A′∉平面ABC），則下列敘述錯誤的是（　　）

• A、平面A′FG⊥平面ABC
• B、BC∥平面A′DE
• C、三棱錐A′-DEF的體積最大值為

  1

  48

  a³
• D、直線DF與直線A′E不可能共面

Answer 1

分析：由線線垂直⇒線面垂直⇒面面垂直，可判斷A正確；
由線面平行的判定定理，可判斷B正確；
由棱錐的體積公式，可判斷當高最大時，體積最大，求出體積的最大值，可判斷C錯誤；
由異面直線的判定定理可判斷D正確．

解答：解：∵△ABC是正三角形，∴A'G⊥DE，DE⊥FG，∴DE⊥平面A′FG，DE?平面ABC，∴平面A′FG⊥平面ABC，故A正確
∵BC∥DE，BC?平面A′DE，DE?平面A′DE，∴BC∥平面A′DE，故B正確
當A′G⊥平面ABC時，三棱錐A′-DEF的高為A′G，而底面DEF的面積一定，
∴三棱錐A′-DEF的體積最大值為

1

3

×

1

2

×

a

2

×

3

2×2

a×

3

4

a=

1

64

a³，故C錯誤；
∵A′∉平面ABC，由異面直線的判定定理，直線DF與直線A′E是異面直線，故D正確．
故選C．

點評：本題以折疊圖形為載體，考查面面垂直的判定，線面平行的判定，棱錐的體積公式及異面直線的判定，解題的關鍵是利用好折疊前的位置關系．