Question

【題目】已知函數(shù)（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).）

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)， 時(shí)，證明： .

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）由已知中函數(shù)的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)的解析式，對(duì)進(jìn)行分類討論，確定在不同情況下導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而可得函數(shù)的單調(diào)性．
（2）先求出，令，求出，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

試題解析：（1）解：因?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)，令得，所以當(dāng)時(shí)， ，

當(dāng)時(shí)， ，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， 恒成立，故此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增.

（2）證明：當(dāng)時(shí)，由（1）知函數(shù)單調(diào)遞增，不存在兩個(gè)零點(diǎn)，所以，

設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為， ，且. 由題意得： ， ②-①得：

令 ，則 ∴③可化為：

要證： 只需證：

即證：

構(gòu)造函數(shù) ，則

在單調(diào)遞增，