Question

如圖是一個直三棱柱（以A₁B₁C₁為底面）被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC．已知A₁B₁=B₁C₁=1，∠A₁B₁C₁=90°，AA₁=4，BB₁=2，CC₁=3．
（1）設(shè)點O是AB的中點，證明：OC∥平面A₁B₁C₁；
（2）求二面角B-AC-A₁的大小；
（3）求此幾何體的體積．

Answer 1

分析：（1）由題意及圖形，利用直三棱柱的特點，因為O為中點連接OD，由題意利用借助線面垂直的判定定理證明OC∥平面A₁B₁C_1；
（2）由題意利用三垂線定理找到二面角的平面角，在三角形中進行求解二面角的大小；
（3）由題意及圖形利用體積分割的方法，把不規(guī)則的幾何體分割成兩個規(guī)則的幾何體，利用相應(yīng)的體積公式進行求解．

解答：（1）證明：作OD∥AA₁交A₁B₁于D，連C₁D．
則OD∥BB₁∥CC₁．
因為O是AB的中點，
所以O(shè)D=

1

2

(AA1+BB1)=3=CC1．
則ODC₁C是平行四邊形，因此有OC∥C₁D．C₁D?平面C₁B₁A₁且OC?平面C₁B₁A₁，
則OC∥面A₁B₁C₁．
（2）如圖，過B作截面BA₂C₂∥面A₁B₁C₁，分別交AA₁，CC₁于A₂，C₂．
作BH⊥A₂C₂于H，連CH．
因為CC₁⊥面BA₂C₂，所以CC₁⊥BH，則BH⊥平面A₁C．
又因為AB=

5

，BC=

2

，AC=

3

?AB2=BC2+AC2．
所以BC⊥AC，根據(jù)三垂線定理知CH⊥AC，所以∠BCH就是所求二面角的平面角．
因為BH=

2

2

，所以sin∠BCH=

BH

BC

=

1

2

，故∠BCH=30°，
即：所求二面角的大小為30°．
（3）因為BH=

2

2

，所以VB-AA2C2C=

1

3

SAA2C2C•BH=

1

3

•

1

2

(1+2)•

2

•

2

2

=

1

2

．VA1B1C1-A2BC2=S△A1B1C1•BB1=

1

2

•2=1．
所求幾何體體積為V=VB-AA2C2C+VA1B1C1-A2BC2=

3

2

．

點評：此題重點考查了線面平行的判定定理，還考查了利用圖形及三垂線定理求二面角的平面角的大小；還考查了利用分割法求幾何體的體積．