Question

如圖是一個直三棱柱（以A₁B₁C₁為底面）被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC已知A₁B₁=B₁C₁=1，∠A₁B₁C₁=90°，AA₁=4，BB₁=2，CC₁=3
（Ⅰ）設點O是AB的中點，證明：OC∥平面A₁B₁C₁；
（Ⅱ）求二面角B-AC-A₁的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）作OD∥AA₁交A₁B₁于D，連C₁D，根據梯形中位線定理及平行四邊形判定定理，可得四邊形ODC₁C是平行四邊形，進而OC∥C₁D，根據線面平行的判定定理，可得OC∥平面A₁B₁C₁．
（Ⅱ）以B₁為原點建立空間直角坐標系，求出平面ABC的一個法向量和平面AA₁C₁C的一個法向量，代入向量夾角公式，求出二面角B-AC-A₁平面角的余弦值，進而可得二面角B-AC-A₁的大小．

解答：證明：（Ⅰ）作OD∥AA₁交A₁B₁于D，連C₁D
則OD∥BB₁∥CC₁
因為O是AB的中點，
所以OD=

1

2

(AA1+BB1)=3=CC1
則四邊形ODC₁C是平行四邊形，
因此有OC∥C₁D，C₁D?平面C₁B₁A₁
且OC?平面C₁B₁A₁，
則OC∥平面A₁B₁C₁…6′
（Ⅱ）如圖，以B₁為原點建立空間直角坐標系，
則A（0，1，4），B（0，0，2），C（1，0，3），
∴

AB

=(0，-1，-2)，

BC

=(1，0，1)，
設

m

=(x，y，z)是平面ABC的一個法向量，則
則

AB

•

m

=0，

BC

•

m

=0得：

-y-2z=0 x+z=0

取x=-z=1，

m

=(1，2，-1)
顯然，

n

=(1，1，0)為平面AA₁C₁C的一個法向量
則cos?

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

1+2+0

6 × 2

=

3

2

，
結合圖形可知所求二面角為銳角
所以二面角B-AC-A₁的大小是30°…12′

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與平面平行的判定，其中（I）的關鍵是證得OC∥C₁D，（II）的關鍵是構造空間坐標系，將二面角問題轉化為向量夾角問題．