Question

如圖；.已知橢圓C:的離心率為，以橢圓的左頂點T為圓心作圓T:設圓T與橢圓C交于點M、N.

（1）求橢圓C的方程；
（2）求的最小值，并求此時圓T的方程;
（3）設點P是橢圓C上異于M，N的任意一點，且直線MP，NP分別與軸交于點R，S，O為坐標原點. 試問；是否存在使最大的點P，若存在求出P點的坐標，若不存在說明理由.

Answer 1

（1）；（2）；（3）存在

試題分析：（1）橢圓C:的離心率為
由橢圓的左頂點為，所以可得橢圓的標準方程；
（2）點M與點N關于軸對稱，設，
 ，再根據的取值范圍求出的范圍.
（3）假設存在點使取最大值，因為
=
利用點分別是直線 與軸的交點，把表示成的函數，進而求出其取最大值的值，確定點的坐標.
試題解析：
解：（1）由題意知解之得； ，由得b=1，

故橢圓C方程為；.3分
（2）點M與點N關于軸對稱，設, 不妨 設, 由于點M在橢圓C上，,
由已知 
,..6分由于故當時，取得最小值為,
當時，故又點M在圓T上，代入圓的方程得,故圓T的方程為：；..8分
（3）假設存在滿足條件的點P,設，則直線MP的方程為：
令，得，同理,
故;..10分
又點M與點P在橢圓上，故,
得,
為定值,.12分
===,
由P為橢圓上的一點,要使最大，只要最大，而的最大值為1,故滿足條件的P點存在其坐標為．..14分