Question

如圖，圓與直線相切于點(diǎn)，與正半軸交于點(diǎn)，與直線在第一象限的交點(diǎn)為.點(diǎn)為圓上任一點(diǎn)，且滿足，動(dòng)點(diǎn)的軌跡記為曲線．

（1）求圓的方程及曲線的方程；
（2）若兩條直線和分別交曲線于點(diǎn)、和、，求四邊形面積的最大值，并求此時(shí)的的值．
（3）證明：曲線為橢圓，并求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

（1）圓的方程為，曲線的方程為（）；（2）當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大值為；（3）證明見(jiàn)解析，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，.

試題分析：（1）圓的半徑等于圓心到切線的距離，曲線的方程可通過(guò)已知變形得到，條件是，，把已知式平方可得出的方程；（2）從方程可看出，即，因此，我們把方程與曲線方程聯(lián)立方程組可解得兩點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到，把中的，用代可得出，從而求出，變形為，易知，故當(dāng)即時(shí)，取得最大值，為了求最大值，也可作變形，應(yīng)用基本不等式基本不等式知識(shí)得出結(jié)論；（3）要證曲線為橢圓，首先找它的對(duì)稱(chēng)軸，從方程中可看出直線是其對(duì)稱(chēng)軸，接著求出曲線與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)即橢圓的頂點(diǎn)，這樣可求得長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)，根據(jù)公式，求出半焦距，這樣可求出焦點(diǎn)，下面我們只要按照橢圓的定義證明曲線的點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和為定值，也可求出到兩定點(diǎn)的距離之和為定值的點(diǎn)的軌跡方程是曲線的方程，這樣就完成了證明. 
試題解析：（1）由題意圓的半徑，
故圓的方程為.                             2分
由得，，
即，得
（）為曲線的方程.（未寫(xiě)范圍不扣分） 4分
（2）由得，，
所以，同理.        6分
由題意知 ，所以四邊形的面積.
，
∵ ，∴ .           8分
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí).
∴ 當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大值為.                        10分
（3）曲線的方程為（），它關(guān)于直線、和原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，下面證明：
設(shè)曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，顯然，所以點(diǎn)在曲線上，故曲線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，
同理曲線關(guān)于直線和原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).
可以求得和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為
和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
，，，.
在上取點(diǎn)
下面證明曲線為橢圓：
ⅰ）設(shè)為曲線上任一點(diǎn)，則





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即曲線上任一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和為定值.
ⅱ）若點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和為定值，可以求得點(diǎn)的軌跡方程為（過(guò)程略）.            
故曲線是橢圓，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為.              18分
第（3）問(wèn)說(shuō)明：
1. ⅰ）、ⅱ）兩種情形只需證明一種即可，得5分，
2. 直接寫(xiě)出焦點(diǎn)的坐標(biāo)給3分，未寫(xiě)出理由不扣分.