Question

【題目】已知動圓過定點，在軸截得的弦長為2．

（1）求動圓圓心的軌跡的方程；

（2）若為軌跡上一動點，過點作圓的兩條切線分別交軸于，兩點，求面積的最小值，并求出此時點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）2，．

【解析】

（1）設，根據，弦長 ，所以，利用相等，轉化成關于的方程；

（2）設過點且與圓相切的直線的方程為，首先表示縱截距，然后利用直線與圓相切，有，表示為關于的二次方程，并且，，最后再表示面積，再求最值.

（1）設，根據

弦長，

解得： ，

，整理為：,

的軌跡方程為．

（2）設過點且與圓相切的直線的方程為，

令，得，

∴切線與軸的交點為，而，

整理得，，∴．

設兩切線斜率為，，

則，

∴，

∵，

∴，則．

令，則，

而，當且僅當，即時，“＝”成立．

此時，

∴的最小值為2，．